「皇太子妃雅子さまがご懐妊中」は “Crown Princess Masako is being pregnant.” です。懐妊の兆候は “signs of pregnancy“ “She is expecting a child（baby）.” など。
「もし男の子であれば、皇太子さまに次ぐ皇位継承順位第二位の皇族になる」
＝ “If the child is a boy, he will be second in the line of succession after the Crown Prince.”「彼女は最初の子供、男の子を出産した」＝ “She has given birth to a boy, her first child.” カジュアルな会話なら、“When are you due?”（あなたの子供はいつ生まれるの？）“In two weeks.”（２週間で）となります。